什么是无理数？

无理数，也称为无穷不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无穷多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无穷的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“丈量”，即没有长度（“度量”）。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.9793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证实都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。

无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无穷不循环小数，如圆周率、等。

而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无穷循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。

在实数中，无穷不循环小数叫做无理数。实数包括有理数和无理数。整数和分数统称为有理数。有理数都可以化成分数形式，即分数都是有理数。有理数也可以化成有限小数或者无穷循环小数。但是无穷不循环小数不是有理数，而是无理数，如无理数√2，√3,?π，e……。

什么无理数的定义？

无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无穷不循环小数。如圆周率、2的平方根等。实数（realmunber)分为有理数和无理数(irrationalnumber)有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，通常写作a/b。

包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无穷循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。

拓展资料:

无理数应满足三个条件：

①是小数；

②是无穷小数；

③不循环．圆周率π=3.141592653……

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家。他证实很多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和即是以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得熟练之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点往解释一来世界。经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。

无理数，也称为无穷不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无穷多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。

无理数的另一特征是无穷的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

无理数的定义

在数学中,无理数是所有不是有理数

字的实数,后者是由整数的比率(或

分数)构成的数字。当两个线段的长

度比是无理数时,线段也被描述为不

可比较的,这意味着它们不能“测

量”,即没有长度(“度量”)。

无理数,也称为无穷不循环小数,不

能写作两整数之比。若将它写成小数

形式,小数点之后的数字有无穷多

个,并且不会循环。常见的无理数

有非完全平方数的平方根、π和e

(其中后两者均为超越数)等。无理

数的另一特征是无穷的连分数表达

式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟

子希伯索斯发现。

二常见的几类无理数

1.圆周率n及一些含有π的数

2开不尽方的数(留意:带根号的数

不一定是无理数)

3有一定的规律,但不循环的无穷小

数。

什么是无理数？

无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。

无理数包括无穷不循环小数，如π和√2等。

无理数的定义告诉我们，它们无法用整数的比值来精确表示，由于它们的小数部分是无穷不循环的，没有规律可循。

这使得无理数在数学中具有重要的作用，由于它们能够表达现实世界中很多精确的丈量和计算结果。

无理数的概念一开始由古希腊的毕达哥拉斯学派引进，发现√2是一个无理数，这一不可思议的发现也标志着数学的广泛发展。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无穷不循环小数，如圆周率、如圆周率、√2等。在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。

当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“丈量”，即没有长度（“度量”）。常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

什么叫做无理数

无理数，也称为无穷不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无穷多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无穷的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

扩展资料无理数的发现：伟大的数学家毕达哥拉斯以为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。可是不久就出现了一个题目：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m即是多少。是整数呢，还是分数。毕达哥拉斯和他的徒弟费了九牛二虎之力，也不知道这个m究竟是什么数。世界上除了整数和分数以外还有没有别的数。这个题目引起了学派成员希伯斯的爱好，他花费了很多的时间往钻研，终极希伯斯中断言：m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有熟悉的新数。从希伯斯的发现中，人们知道了除了整数和分数以外，还存在着一种新数，就是一个新数，当时人们觉得，整数和分数是轻易理解的，就把整数和分数合称“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”。参考资料来源：百度百科-无理数参考资料来源：百度百科-希伯斯

有理数----有理数的定义是：只要能以分数形式表现出来的数，就是有理数(当然必须限定是分母、分子都是整数，且分母不得为0)。所以整数、有限小数、循环小数、及分数都是有理数。简单的说，就是：可以用分数表示的数。

无理数----无理数的定义恰好和有理数相反。无理数就是无法以单纯分数形式表示的数，例如无法开出的根号数(根号2、根号3...)，或是某些特定的无穷(不循环)小数，例如大家熟知的圆周率。

大家都知道著名的圆周率π＝3．1415926……是个无穷不循环的小数，可是大家知道像π这样无穷不循环的小数又叫无理数吗？为什么叫无理数呢？关于无理数的发现还有个带有血腥味的故事呢。

公元前六世纪，古希腊有个数学权威叫毕达哥拉斯，他曾中断言：任何两条线段相比，都可以用两个整数之比来表示，由此推导出，自然界只有整数和分数两种数，不存在其他的数。但毕达哥拉斯这个结论提出不久，他的学生希伯斯就发现边长为1的正方形，其对角线和边长不能成为整数比，即既不是整数，又不是分数，而是一个当时人们还未熟悉的数。希伯斯的发现触犯了毕达哥拉斯的权威。于是，毕达哥拉斯就下令封闭这个发现，不让其传播。可是，希伯斯的发现还是不胫而走，越来越多的人都知道了这一新数。毕达哥拉斯大为恼怒，就下令追捕希伯斯，最后在一条船上找到希伯斯，竟残忍地把希伯斯手脚捆住，扔进波涛汹涌的地中海。

希伯斯固然葬身鱼腹，冤沉大海，但他的发现却为举世公认。由于人们当时不能理解这种新数，但这种新数（如圆周率π）在自然界的确大量客观存在，因而人们把这种数与已发现的整数、分数相比，将它取名为“无理数”，而将分数、整数称为“有理数”。

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无穷多个，并且不会循环。常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无穷的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现，而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。后来希伯斯将无理数透露给外人因而被正法，其罪名等同于“渎神”。

无理数，也称为无穷不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无穷多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无穷的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。基本先容中文名：无理数外文名：Irrationalnumber别称：无穷不循环小数提出者：希伯索斯套用学科：数学性质：不能用分数进行表示对应概念：有理数所属范围：实数定义,历史,证实方法,拓展,实例,定义在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“丈量”，即没有长度（“度量”）。常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.9793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证实都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无穷不循环小数，如圆周率、等。而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无穷循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。历史毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家。他证实很多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和即是以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得熟练之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点往解释一来世界。经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相迳庭。这一发现使该学派领导人惶恐，以为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封闭该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是碰到毕氏徒弟。被毕氏徒弟残忍地投进了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证实了它不能同连续的无穷直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证实简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的构想彻底地幻灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，国际物流，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证实，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直以为是不可理喻的数。15世纪义大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家克卜勒称之为“不可名状”的数。然而真理究竟是沉没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被以为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。 分数=有限小数+无穷循环小数，无穷不循环小数是无理数证实方法欧几里得《几何原本》中提出了一种证实无理数的经典方法：证实:√2是无理数假设不是无理数∴是有理数令(、互质且,)两边平方得即通过移项，得到：∴必为偶数∴必为偶数令则∴化简得∴必为偶数∴必为偶数综上，和都是偶数∴、互质，且、为偶数矛盾原假设不成立∴为无理数拓展证实是无理数（整数）,互素。假设则存在则a为偶数，设，为正整数代人上式有则b同样是偶数，与条件（,）为互质的最小整数是相互矛盾的那么假设是不成立的则成立，那么必为无理数。实例假如正整数N不是完全平方数，那么不是有理数（是无理数）。证实：若假设是有理数，不妨设，其中p与q都是正整数（不一定互质。若假定p、q互质则证法稍有变动）。设的整数部分为a，则有不等式成立。两边乘以q，得因p、q、a都是整数，p-aq也是一个正整数。再在上述不等式的两边乘以，得即：显然，qN-ap也是一个正整数。于是我们找到了两个新的正整数和，它们满足，海运费，即，并且有。重复上述步骤，可以找到一系列的使得且。因该步骤可以无穷重复，意味着均可无穷减小，但这与正整数最小为1矛盾。因此假设错误，不是有理数。

无理数，也称为无穷不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无穷多个，并且不会循环。